Dasar Matematika Kinematika berkaitan dengan matematika deskripsi tentang gerak tanpa mempertimbangkan kekuatan diterapkan. Posisi kuantitas, jalan, waktu, kecepatan dan percepatan memainkan peran sentral. Gerak, perubahan posisi dari sebuah benda selama selang waktu. Untuk menggambarkan gerak, nilai numerik (koordinat) yang menggambarkan posisi benda dalam koordinat sistem. Variasi waktu dari ciri koordinat gerak. Gerak seragam adalah jika benda bergerak dengan jarak yang sama dalam selang waktu yang sama. Sebaliknya adalah non-gerak seragam . 1. Dimensi ruang Dimensi ruang adalah jumlah nilai numerik yang diperlukan untuk menentukan posisi suatu benda dalam ruang.

• Sebuah garis lurus adalah satu-dimensi, karena salah satu nilai numerik diperlukan untuk memmerubah posisi; suatu daerah dua dimensi dengan dua nilai numerik, dan ruang biasa adalah tiga-dimensi, sejak tiga nilai numerik yang diperlukan untuk memperbaiki posisi.

• Setiap titik di Bumi dapat ditentukan dengan menentukan dengan bujur dan lintang. Dimensi dari permukaan bumi adalah dua.

• Ruang di mana kita bergerak adalah tiga-dimensi. Gerak dalam pesawat adalah dua dimensi.

• Gerakan sepanjang rel adalah satu-dimensi. Tambahan secara umum adalah titik, yang memiliki dimensi nol, dan empat dimensi ruang-waktu kontiniu (Minkowski space), koordinat yang merupakan tiga koordinat ruang dan satu waktu koordinat.

2 Sistem Koordinat Sistem koordinat digunakan untuk deskripsi matematis tentang gerak. Mereka melampirkan numerik nilai ke posisi benda. Gerak dengan demikian dapat digambarkan sebagai matematika fungsi yang memberikan ruang koordinat benda setiap saat. Ada berbagai macam sistem koordinat: a) Sistem koordinat affine, Dalam kasus dua dimensi, dua garis lurus lewat melalui titik O (dengan sudut yang sembarang) adalah sumbu koordinat; dalam kasus tiga dimensi, sumbu koordinat tiga non-Coplanar berbeda garis-garis lurus yang melewati koordinat O. asal koordinat ξ, η, ζ dari sebuah titik dalam ruang diperoleh sebagai proyeksi sejajar dengan tiga koordinat bidang yang direntang oleh setiap dua sumbu koordinat ke sumbu koordinat.

Koordinat affine di bidang datar, koordinat dari titik P: ξ1, η1.

b) Sistem Koordinat Kartesius, Kasus khusus dari sistem koordinat affine, terdiri dari masing-masing sumbu koordinat tegak lurus lurus. Koordinat x, y, z dari ruang titik P adalah proyeksi ortogonal dari posisi P ke sumbu ini Elemen garis : dr = dx ex + dy ey + dz ez. Elemen dalam areal x, y-bidang datar : dA = dx dy. Volume elemen : dV = dx dy dz.

Koordinat Cartesian dalam ruang tiga dimensi, koordinat titik P: x, y, z.

Kaidah Tangan Kanan, khusus untuk sumbu koordinat dari sistem koordinat Kartesius dalam ruang tiga-dimensi (3D): sumbu x , y dan z dalam sistem tangan kanan, sumbu x sebagai jempol, telunjuk sebagai sumbu y dan jari tengah tangan kanan sebagai z.

c) Koordinat Kutub pada bidang , Koordinat kutub adalah jarak r dari titik pusat koordinat dan φ sudut antara vektor posisi dan arah acuan (sumbu x positif)

elemen garis : dr = dr er + r dϕ eϕ.

elemen bidang : dA = r dr dϕ.

Koordinat Kutub pada bidang datar

Vektor

Vektor dan Besar vektor

Perhatikan Gambar1 diatas, Besar vektor b dapat dituliskan menjadi , dimana besarnya dapat ditentukan dengan cara sedangkan :

Jika vektor a = i + 2j + 4k maka

Penjumlahan/Pengurangan Vektor adalah penjumlahan vektor a, vektor b dan vektor c. Kita dapat memindahkan titik tangkap vektor tanpa merubah arah vektor. Secara matematis pejumlahan vektor dapat diselesaikan dengan cara sebagai berikut : Misalkan vektor

dan vektor maka

Untuk 2 vektor yang membentuk sudut besar vektor penjumlah kedua vektor tersebut dapat ditentukan dengan persamaan :

Penguraian Vektor

Sebuah vektor dapat diuraikan terhadap komponen x dan y perhatikan gambar dibawah ini

Perkalian Vektor 1. Dot Product (Scalar Product)

Skalar produk didefenisikan sebagai :

dimana adalah sudut yang dibentuk oleh Untuk vektor

dan vektor maka :

Contoh : Berapakah besar sudut yang dibentuk oleh vektor dan

Penyelesaian :

maka

2. Cross Product ( Vector Product )

akan menghasilkan vektor yang tegak lurus terhadap vektor dan vektor . , = sudut yang dibentuk oleh vektor . Untuk vektor-vektor : dst. Kita dapat menggunakan kaidah tangan kanan untuk menentukan hasil cross product dua vektor tersebut.

Bagaimana jika diketahui komponen vektor tersebut dalam bentuk vektor tiga dimensi? Contohnya : Hitunglah panjang vektor dari jika vektor ! Penyelesaian : kita gunakan metode kofaktor, Secara fisis, besar/panjang vektor hasil cross product adalah luas daerah yang dibatasi oleh dua buah vektor tersebut; hal ini dapat dipahami sesuai gambar selanjutnya

Contoh: Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh vektor : Penyelesaian : 3. Scalar triple product Scalar triple product didefenisikan sebagai a · (b × c)

Example : Find the volume V of the parallelepiped with sides :

Answered :

We have already found that a × b = −3i + 6j − 3k. Hence the volume of the parallelepiped is given by V = |a · (b × c)| = |(a × b) · c| = |(−3i + 6j − 3k) · (7i + 8j + 10k)| = |(−3)(7) + (6)(8) + (−3)(10)| = 3